Last digit

Answer: 7

7$^1$ = 7                    8$^1$ = 8

7$^2$ = 49                  8$^2$ = 64

7$^3$ = ...3                 8$^3$ = ...2     (last digit comes from multiplying last digits)

7$^4$ = ...1                 8$^4$ = ...6

7$^5$ = ...7                 8$^5$ = ...8     (back to where we began)

7$^6$ = ...9                 8$^6$ = ...4

7$^7$ = ...3                 8$^7$ = ...2

7$^8$ = ...1                 8$^8$ = ...6

The last digits will keep looping in 4s

7$^{2000}$ = ...1              8$^{2000}$ = ...6

7$^{2016}$ = ...1              8$^{2016}$ = ...6

$\therefore$ 7$^{2016}$ + 8$^{2016}$ = ...7