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Age 14 to 16 Challenge Level:

Pour 1$^{ère}$ cycle du secondaire

Mise en situation A

Jos s'est mis à jouer avec des paires de nombre composées de 2 chiffres. Il a plus particulièrement regardé les différences de carrés.
Jos a obtenu les résultats suivants :
 
$65^2 - 35^2 = 3000$
$55^2 - 45^2 = 1000$
$85^2 - 65^2 = 3000$

Ceci l'a surpris.

Exploration
 
Peux-tu trouver d'autres pairs dont la différence de carrés est égale à un multiple de 1000? Que remarques-tu de spécial chez ces paires de nombre ?

Mise en situation B

Jos a aussi été surpris par les réponses suivantes:
 
 $89^2 - 12^2 = 7777$
$78^2 - 23^2 = 5555$

Exploration
 
Peux-tu trouver d'autres paires de nombres dont la différence donne des chiffres qui se répètent ? Que remarques-tu de spécial chez ces paires de nombre?
Jos veut expliquer pourquoi il a obtenu ces résultats surprenants. Il a dessiné quelques diagrammes pour l'aider. Voici le diagramme montrant $85^2 - 65^2 $:
 
 


Questions
 
Quelle est la connexion entre le diagramme de Jos et le calcul de $85^2 - 65^2$ ?
Comment est-ce que Jos peut calculer l'aire du long rectangle mauve (sans calculatrice) ?
Peux-tu dessiner des diagrammes semblables pour les autres calculs de Jos (ou pour vos propres exemples) ?
Comment est-ce que ces diagrammes ont pu aider Jos à développer une méthode rapide pour évaluer $a^2 - b^2$ pour n'importe quelle valeur de $a$ et de $b$ ?

Fais le calcul suivant sans l'aide d'une calculatrice :
$7778^2 - 2233^2$
$88889^2 - 11112^2$

Extension
 
Peux-tu écrire $1000, 2000, 3000$ sous forme d'une différence de deux nombres carrés? Y a-t-il plus qu'une façon ?
Peux-tu écrire des nombres $1111, 2222, 3333, ...$ sous forme d'une différence de deux nombres carrés ?
Peux-tu le faire avec $434343, 123321, 123456, ...$ ?

Source: Plus Minus
 
Translated by Renée Michaud, Coordonnatrice et consultante de mathématiques et sciences, Consortium provincial francophone pour le perfectionnement professionnel, Calgary, Canada