Solution for internal use NOT for publication
We know that
¥
å
n=0 
 xn = 1
(1-x)
so
¥
å
n=0 
 nxn
= x d
dx
 ¥
å
n=0 
 xn
= x d
dx
 æ
ç
è 		1
1-x
 ö
÷
ø
= x
(1-x)2
.
Going one step further
¥
å
n=0 
 n2xn
= x d
dx
 x
(1-x)2
= x æ
ç
è 		(1-x)2+2x(1-x)
(1-x)4
 ö
÷
ø
=x æ
ç
è 		(1-x)+2x
(1-x)3
 ö
÷
ø
= x(1+x)
(1-x)3
.

More generally
¥
å
n=0 
 nkxn = æ
ç
è 		x d
dx
 ö
÷
ø 		¼ æ
ç
è 		x d
dx
 ö
÷
ø 		æ
ç
è 		1
1-x
 ö
÷
ø
where the operator.
æ
ç
è 		x d
dx
 ö
÷
ø
is applied k times.